光学设计中的三种优化系统-云知光学堂

本文来源于自开玄光电(ID:kxopt88)

简化的模型用在初步设计阶段可能会引起目标分布和模拟性能之间显著的不匹配：光源并不是一个点，锋利的边缘必须用倒角替代，菲涅尔损耗和表面散射也均需要考虑在内等等。优化通常用于提高初始设计的性能，同时它也可用于生成初始设计本身。在优化系统之前，设计人员需要定义三个组件：优化变量、优化函数和优化算法。

优化过程的成功非常依赖所选择的优化函数和优化变量。虽然有着数十种可用的优化算法，也许某个特定的算法可以更好地适应所给问题，但没有一个有效的系统参数，没有算法能够产生令人满意的结果。此外，目前的台式电脑已经无力承担起优化照明系统不断成为计算机密集型的需求。

相对于成像系统，照明系统需要为每条光线进行更多的计算，数以百万计的光线对精确模拟系统的性能要求很高，同时用以描述自由曲面的变量的数量也会非常之大。所有这些因素都迫使设计师们作出尽可能高效的优化设置。在接下来的章节中，我们将介绍两种种优化策略以及它们的常见缺陷。

优化+表面参数作为变量

本节中介绍了光学设计师使用剪裁算法优化系统，应在优化开始时使用少量的变量，在以后每一轮优化中再逐步增加额外的变量。变量可能会引起的优化函数高度非线性化或使得系统在非物理状态下停滞，需加以避免。同时指出优化照明系统与优化成像系统的根本不同：在照明系统中，光线并不一定要被限制在目标的特定位置上。

由于不同的表面形状往往可以得到相同的照度分布，所以当优化的目的是为了获得一个给定的目标照度分布时，情况会变得略有不同。另外，提出缓解优化函数收敛的一种有效方法---使用ray fan图，并规定每条光线应击中目标的位置。

裁剪算法是由一个点集生成数字集合的外形。然后这些点需要通过函数插值来获得一个连续的形状。当表面挤压对称或旋转对称时，三次样条函数、福布斯多项式、基础圆锥曲线和偶数阶多项式的组合都是常见的插值函数。无对称性的自由曲面往往用XY多项式插值，比如泽尼克多项式、径向基函数或NURBS曲面。插入合适的初始剪裁形状可能需要一个高阶多项式。

然而这并不意味着在提高系统性能优化过程中所有多项式的高阶项都是必要的。在使用理想点光源时，高阶项所对应的初始形状通常是伪迹，但是一个现实的光源就可能会补充上这些额外且不必要的自由度。除此之外，从一开始就使用大量的变量无疑是下策：应在优化开始时使用少量的变量，在以后每一轮优化中再逐步增加额外的变量。

这样设计师就可以指导优化过程，最大限度地减少陷入局部极小的风险。如果该系统具有平面或象限对称性，那么，优化变量的选择也需要相应确保执行的对称性。例如，对于旋转对称的系统，应使用没有奇数次项的多项式。

在优化过程中，优化算法会扰动的系统变量，在优化函数中记录他们的影响，并计算出应用于系统的变化载体。变量可能会引起的优化函数高度非线性化或使得系统在非物理状态下停滞，以上情况均需加以避免。

让我们考虑一个简单的例子，比如需要优化准直光源的反射器的形状。我们知道理想点光源的理论形状，它的聚焦光线是一个抛物线，所以可以使用圆锥曲线作为最初的表面参数。描述一个二次曲线需要两个变量，典型的选择是半径和圆锥常数。

然而，优化变量选择半径并不是很好：因为当表面是准平面时，一个极小的形状改变就会导致曲率半径发生巨大变化（平面具有无限大的曲率半径）。正因如此，选择曲率（半径的倒数）作为优化变量将会更好。这正是某些软件为了运行更加方便而在内部所做的转换。

①用蓝光优化全反射面 ②用蓝光优化前表面 ③用红光优化前镜头 ④用全光源模型优化所有表面

图7：全反射透镜设计的中间步骤。使用优化的方法设计所有步骤。步骤1至3运用ray fan图获得一阶形状。步骤4显示了用LED光源模型优化后的最终设计成果。

上图显示了全反射透镜设计的中间步骤。这次我们完全使用优化的方法来设计镜头。

第一步：

对后表面进行优化，使蓝色光线集中到镜头前面的一个点。

第二步：

添加一个弯曲的表面对其进行校准。两个表面均由二次Bezier曲线定义（2个端点+1个控制点+ 1个重心）。我们通过固定一个端点来设置形状的大小，这使得每条曲线拥有 5 个优化变量。进而对曲线进行优化：从理论上讲，优化单一表面需要完全控制一个二维ray fan图，同时优化两个表面将增加多解路径的可能性，并因此陷入局部最小。

第三步：

添加一个透镜来校准ray fan图的中心。此表面由3个变量定义：曲率，圆锥常数，和沿Z轴方向的位置。只有少数几个优化周期要求每一步都要校准光线。

接下来，我们用全LED模型取代这些 ray fan 图（1×1mm准朗伯芯片）。这次我们从光源和所有的优化变量中一次性抽取了 1000 条光线，用优化算法对其进行优化。最终结果如图8所示。对轴的强度达到944cd，该结果相对于步骤3提高了14%。基于直径6.4mm孔径的理论最大密度为 1024 cd。

图8：全反射透镜的最终设计成果及其全LED模型优化后相应的强度分布。

图 7 中的例子处理了校准光线的问题，但是当优化的目的是为了获得一个给定的目标照度分布时，情况会变得略有不同，这是因为不同的表面形状往往可以得到相同的照度分布。图9展示了3种不同的反射面形状，所有的形状都产生了完全相同的目标分布。

解决方案的多样性可能将优化算法引入歧途，使得该解决方案在可用的自由度下难以实现（例如，创建一个不连续斜坡，将会需要一个阶数很高的多项式），因此为了将算法引入到特定的解决方向，起点和优化变量的使用变得至关重要。此即为优化照明系统与优化成像系统的根本不同：在照明系统中，光线并不一定要被限制在目标的特定位置上。

缓解优化函数收敛的一种有效方法是使用 ray fan 图，并规定每条光线应击中目标的位置。当然，这类方法并不能反映实际的扩展源，但它可用于快速生成挤压对称或旋转对称的初始设计（如图7所示）。

光线瞄准方法难以控制非对称自由曲面：光线击中目标指定的位置可能会违背可积条件，在这种情况下，不光滑的表面可以使光线照射到其指定的地点。另外，射线位置本身也可作为优化变量，从而无需再适应近似函数的特定形状。

图9：不同的反射器的形状会产生相同的照度分布。解决方案的多样性可能将优化算法引入歧途，使得该解决方案在可用的自由度下难以实现，因此为了将算法引入到特定的解决方向，起点和优化变量的使用变得至关重要。

补偿算法

用裁剪算法来优化系统设计的另一种可能方式是在模拟和预期性能之间差异的基础上对规定的分布进行迭代调整。这种简单的补偿方法对于小光源和小俯角散射非常有效。但由于照度不能为负，使该法受到限制，因此我们使用一种基于以累计通量代替照度的补偿办法来避免这种问题。该补偿算法对光源目标映射的Z轴进行了转换，经过四次迭代，并最终收敛到期望的目标分布。

用裁剪算法来优化系统设计的另一种可能方式是在模拟和预期性能之间差异的基础上对规定的分布进行迭代调整。如果初始模拟性能与要求偏离不多，以此迭代算法能够很快得出一个解决方案。例如，我们剪裁出一个反射器，它能够产生均匀的照度分布并将中心峰值在全系统中进行模拟和观察，进而规定一种趋势来弥补这些差异。

经过初步的校正，我们可以重新评估目标分布，并进行一些额外的调整使其收敛到所需分布。对于小光源和小俯角散射，这种简单的补偿方法无疑非常有效，因为它假定了光源方向和目标位置一一对应的关系。但随着扩展光源和表面散射，反射器上每个点都会在目标上产生一个“补丁”，如图10所示。

由于附近”补丁“的影响，即便我们令一处目标位置照度为零，最终还是会在目标分布中产生非零照度。又因为规定照度不能为负，在此情形下基于照度的补偿算法往往会发生停滞。

图10：（a）通过理想点光源创造出光源方向与目标位置一一对应的关系。（b）随着扩展光源，反射器表面上每个点都会在目标上产生一个相应的光源图像。光源图像大小取决于从反射器中看到的光源有效尺寸，并因此改变整个目标。

避免该问题的途径之一是使用一种以累计通量代替照度的补偿办法。该方法对于挤压对称系统的有效性已被证实。图11说明了如何运用此方法来优化一个挤压式LED墙垫圈。

在这种情况下，由于LED透镜的影响，最初的设计会产生一个尖的目标照度分布（绿色），与期望的目标分布（红色）并不一致。尤其在Z＜0时，光大量溢出而未能在预期目标处截止。累积通量曲线的形状反映出了这种差异：累积通量在z = -3.1cm处变为非零并在z = 5cm处急剧上升，此处正对应着照度的峰值。

在模拟累积通量和预期累积通量分布存在差异的基础上，该补偿算法对光源目标映射的Z轴进行了转换。经过四次迭代，算法收敛到期望的目标分布：最终光源目标映射曲线正如预期，它与最初的映射相比，在需要更多通量处变化减缓而在需要少量通量处变化加快（初始中心照度峰值附近）。相比基于照度的补偿方法，基于累积通量的方法在目标分布区域对通量的重新分配更加接近预期预期（即照度等于零）。